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摘要：本论文以双镜象黄金螺旋为基础结构，着重从几何和代数学角度对两种十干五行基本模型的数理合理性进行研究和分析。首先，结合中医、易学和现代数学原理，对双镜象黄金等角螺旋河图模型的合理性进行了探索。同时，结合组合数学的方法和黄金等角螺旋方程的性质，对河图数码分布的相关规律进行了探讨，发现了其内秉数理逻辑的一致性并将其与中医阴阳基本思想以及“参天两地”的易学原理联系在一起。然后，在介绍双正五边形十干五行模式数理合理性基础上，将该模型与双镜象黄金螺旋联系起来进行讨论并将相关模型跟河图十干五行模型统一于双镜象黄金螺旋跟半径呈等比序列的同心圆交点的数理架构基础之上，该数理架构不但适合对两种十干五行模型的讨论，同时也可推广至跟术数学相关的一般圆周均分框架结构研究中，是一个深具启发意义和参考价值的数理模式和架构。

关键词：生克五行  中土五行 河图 十干 黄金螺旋  同心圆  参天两地

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第9版全国高等中医院校规划教材《中医基础理论》在阐释五行学说时，将其内容分为“生克五行”与“中土五行”两部分，认为[1]：“五行学说有两种结构模式：一是五行对等的相生相克模式，简称'生克五行’；二是以土为中心的土控四行模式，简称'中土五行’。”并进一步诠释：“中土五行，指土居中央而木、 火、金、水为东、南、西、北的五行模式。”其中，“生克五行”常用圆或正五边形及五角星表达，如图1a）所示，而“中土五行”常用左、右、上、下、中央五行五位分野的形式并结合东、西、南、北、中五方以及春、秋、夏、冬四时进行表达，如图1b）所示。在中医基础理论研究和临床实践中，这两种五行模式都非常重要，实际上都可以在各自基本五行排布结构和生克关系保持不变的前提下，基于阴、阳加倍配位的方式进一步予以拓展为阴五行和阳五行之组合，分别如图1c）和图1d）所示：“生克五行”模式直接对应十天干顺次均布于圆周，其中，五阴干和五阳干分别构成两个正五边形相错结构，则每相邻两个天干与圆心连线所对应圆周角皆为36°；“中土五行”则常见于河图结构中，基本对应内和外两层结构，也常常基于数字之奇、偶及其五行属性之阴阳跟十天干的五阳干和五阴干分别匹配，具体如图1e）所示。     

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自古以来对于这两种十干五行模式相关规律及应用实践探讨的文献很多，但极少有文献在不违背中医学基本原理的前提下基于现代科学视角将这两种模式统一在一起进行研究和探索。本论文以双镜象黄金螺旋为基础结构，着重从几何和代数学角度对两种基本十干五行模型的数理合理性进行研究和分析。首先，结合中医、易学和现代数学原理，对双镜象黄金等角螺旋河图模型的合理性进行了探索。同时，结合组合数学的方法和黄金等角螺旋方程的性质，对河图数码分布的相关规律进行了探讨，发现了其内秉数理逻辑的一致性并将其与中医阴阳基本思想以及“参天两地”的易学原理联系在一起。然后，在介绍双正五边形十干五行模式数理合理性基础上，进一步与双镜象黄金螺旋联系起来进行讨论，将相关模型跟河图十干五行模型统一于双镜象黄金螺旋跟半径呈等比序列的同心圆交点的数理架构基础之上，该数理架构不但适合对两种十干五行模型的讨论，同时也可推广至跟术数学相关的一般圆周均分框架结构研究中，是一个深具参考意义和研究价值的数理模式和架构。

1.河图十干五行数码分布与双镜象黄金螺旋的关系研究

《尚书·洪范》篇曰:“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。”其中，将五行与从一到五的数字相配，即为后世术数学研究者所熟知的“洪范五行数”。另外，《周易.系辞上》曰:“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天数五地数五。五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”而《礼记·月令》孔颖达《疏》引郑玄注《系辞》曰：“天一生水于北，地二生火于南，天三生木于东，地四生金于西，天五生土于中。阳无耦，阴无配，未得相成。地六成水于北，与天一并；天七成火于南，与地二并；地八成木于东，与天三并；天九成金于西，与地四并；地十成土于中，与天五并也。”郑玄《系辞》注中所描述的恰为后世所谓河图结构，如图1 d）所示。此外，如前所述，古人还将河图与十天干及其相应的五行属性予以关联，具体以奇数为天数、偶数为地数，同时以1、2、3、4、5为生数，6、7、8、9、10为成数。成数和相应生数之差值为5，形成一个跟五方、五行属性相匹配的5个生成数二元组，每个二元组中两个数字一奇一偶、阴阳相耦相并，彼此相辅相成，诚如《系辞》所言：“五位相得而各有合。”。因此，从组合结构上来看，河图四方与中央共计5个生成数二元组中每组皆涵奇、偶数各一且两数差的绝对值为5，而按从大到小排列如下相关数值有：

01

生成数之商

土=5/10=0.5，金=4/9=0.4…，

木=3/8=0.375，火=2/7=0.28…，

水=1/6=0.16…；

02

生成数之积

土=50，金=36，木=24，火=14，水=6；

03

生成数之和

土=15，金=13，木=11，火=9，水=7。

显然，各结果数值从大到小皆恰对应于洪范五行数由大到小的顺序。这暗示，古人在《尚书》和《周易》等典籍中所给出的对洪范五行数、天地数的定义以及河图五行生数和成数相耦、相配的组合关系并非简单的约定，当隐含深刻的跟组合数学相关的数理合理性，有必要进行深入研究和分析。

1.1基于中土五行的河图数码分布结构的解释及其与黄金分割律联系

南唐文字训诂学家徐锴以“经纬”之义解《说文》之“文”字曰：“天地氤氲，万物化生。天感而下，地感而上，阴阳交泰，万物咸亨。阳以经之，阴以纬之。天地经之，人实纬之。故曰：经天纬地之谓文。”。其中，对经、纬两个方向的阴阳属性进行了规定，即以纬向（水平方向）为阴，经向（竖直方向）为阳。因此，在如图1d）所示河图黑白圈点和数码分布结构中，应该以“上下”方向为阳，“左右”方向为阴。结合古文化和易学常识，在河图具体方位的阴阳划分上又常常以上为阳下为阴、左为阳右为阴、奇数为阳偶数为阴（分别对应各组白点、黑点的位置和具体数目）。另河图中央以五数居中，对应排列成十字交叉结构的五个白点，外包围均匀分布于一个圆周上的10个黑点对应十数，如此1-5五个生数皆位于内、6-10五个成数皆位于外，规律性非常明显，无疑又可形成另外一类阴阳。如下将对其中所隐含的其它相关数码分布规律进行进一步分析：

首先，深入分析河图中央结构，数字5所对应5个白点居于中央且呈四方+中央结构，跟其外周数码分布方位全息递归且跟中土五行模式相对应。

其次，从本质上来说，河图四方数码分内、外两层分布于互相垂直的两条线段即一个十字形结构上，其数码排布模式隐含黄金分割比例的近似值。具体来说，河图内圈：从上到下数字为21，从左到右数字为34，而21、34恰为两个连续的斐波那契数，在河图中皆可视作从阳位至于阴位进行组合读数而得。若将居于中央的数字10和5按照纬向配阴数、经向配阳数的基本配数原则分别归为水平、垂直方向，则河图水平、垂直方向5个数字的和分别为：

水平：8+3+10+4+9=34；

垂直：7+2+5+1+6=21

有意思的是，两个方向的和数也恰对应34和21二数。并且，纬向数字和34的尾数为4，属于偶数，性阴；经向数字和为21，尾数为1，属于奇数，性阳，与中医和易道术数理论中偶、奇与阴、阳的基本匹配关系也暗合。而34/21=1.619……，恰为黄金分割数

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实际上，斐波那契序列（Fibonacci sequence,=1，1，2，3，5，8,……）是黄金分割现象在代数学领域的主要体现。该序列满足递归关系[3] ：       

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同时在数学上可以证明：

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除此之外，还可以严格证明[4]，对于复数z而言，

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1.2基于黄金等角螺旋方程性质和组合数学的河图数码分布数理合理性研究

组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。实际上，基于黄金等角螺旋方程性质，在河图模型中也可以找到充分的证据说明如图2所示之双镜象黄金螺旋相关河图模型的合理性。首先，黄金等角螺旋在复平面的方程可表达为e（lnΦ²/π+j）θ，其中，j为虚数单位，θ为辐角。显然，其方程仅与辐角θ值的变化有关，同时关联于e、Φ、π三个基本数学常数。对于古人所给出的河图结构而言，基于1.1节的论述不难确认河图数码分布跟Φ的联系。另外，通过仔细研究和分析可以发现，河图排布模式之1-4生数自数字3开始沿顺时针顺序恰隐π≈3.142规律，如此基于组合数学的观点，也可将河图与圆周率常数联系在一起。

自然常数e是“自然律”的精髓，其乃（1+1/x）ˣ当x→∞时的极限。物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、各种驰豫过程以及微分动力系统研究等都要涉及该常数。同时，e关涉自然界衰减增益之螺旋变化过程，乃等角螺旋共通结构控制参量，而等角螺旋轨迹具有全息和无标度特性且ex无限阶求导恒为自身，暗通易学简易、变易和不易之理。《易.说卦传》曰：“昔者圣人之作《易》也，幽赞于神明而生蓍，参天两地而倚数，观变于阴阳而立卦，发挥于刚柔而生爻，和顺于道德而理于义，穷理尽性以至于命。”其中，“参天两地”最简单、直接的意思是天数为三、地数为二。而自然常数e=2.718…向上取整为3应天数，上为天；向下取整为2应地数，下为地，则结合e所关联的特殊数学、物理和自然律性质，或恰可与易经“参天两地而倚数”的原理相对应。

有意思的是，在河图数码分布结构中也隐含大量类似跟“参天两地”有关的组合数学性质和规律。分析如图1d）所示河图结构，共包涵4个数码分布层次即最外层之9786、次外层之4231和中宫外层之10与内层之5，而从整体结构上来看，外2层所对应数字和数的比值为（9+7+8+6）/（4+2+3+1）=3，在外应天，而中宫二层之相应比值为10/5=2，在内应地，故在结构上恰与易学“参天两地”之原理相对应。另外，不难验证，∑（3ⁿ+2ⁿ）（0≤n≤3）的值为55即恰为河图中所有10个数字的和数，而且当0≤n≤3时，∑3ⁿ=40=9+7+8+6+4+2+3+1,∑2ⁿ=15=10+5，恰分别为河图外周8个数字求和以及中央2个数字求和，也就是说，以外、内各2层数字为单位进行求和，所得结果跟3ⁿ和2ⁿ分别相关，按照易学原理，外2层在外应天，内2层在内应地，故结构上也暗暗契合“参天两地”数理。需要注意的是，这种诠释还将中央2个数字和外周8个数字归于不同的分组，同时相应和数的比值即40/15在数值上约等于e，相对误差约1.9%。实际上，在上文所介绍的双镜象黄金螺旋所成河图所隐含几何规律的研究中，以居于中心的数字5、10所对应的极径

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因此，基于上述讨论，在河图中阴阳旋数字排布顺序无论从内至外还是从内至外皆存在统一的跟3ⁿ和2ⁿ相关的严整数学组合和分布规律；另外，以易经“参天两地而倚数”的原理为媒介，在河图中也不难发现跟自然常数e近似关联的线索。实际上，把1-10数按生、成数分为五组，并以生数居内、成数位外，不考虑整体结构镜象与90度旋转，按十字形按类似五元组排布于五方，通过排列组合方法一一枚举可以验证，满足横平、竖直方向数字和为21和34即跟黄金分割数Φ近似值直接对应的排布模式共有以5、10与1、6居中宫二大类，代表性图式分别如图2和图4所示。如此，仅仅从1.1节所述横、纵方向数码之和数比值跟黄金分割数的近似规律角度考察，所对应的五元组数码排布结构并不具有唯一性，但考虑到河图作为易道术数研究核心和基础图式，其对数学常数的关联除了Φ外，还可能与圆周率π和自然常数e有关。上文论述中π≈3.142以及e基于向上、向下取整过程跟“参天两地”原理的近似关联，跟21和34以及89和34所对应的斐波那契数字相关比例组合对黄金律的近似相协同，进一步突出了世传河图数码分布模式的数理合理性。众所周知，古代算学体系中常以“径一周三”为圆形结构表达或曰今人所谓圆周率之近似值，并以“方五斜七”为正方形对角线与其边长比例的近似表达，相对误差分别约为4.5%与1.0%。需要强调指出的是，河图数码分布相关在十字形方向所隐涵之34/21和1-4生数所涉及的3.142虽都是Φ和π的近似值，但其误差都非常小，且相对误差甚至比古代算学理论中“径一周三”“方五斜七”之整数比率近似程度要好得多，所以不啻为一个非常有意思的排布性质。进一步，如前所述，如果说河图数码排布结构中的2ⁿ与3ⁿ协同跟自然常数e相关的话，河图象数结构同时关涉e、Φ、π三个基本数学常数，表明中华先人已经自觉或不自觉地掌握了极为高明的组合数学构图技巧。另外，如图4所示跟黄金分割比例相关的中宫为1、6五组生成数另外一类图式虽然能够保持生数和成数五位相合且分居于阴阳两个螺旋上以及经向、纬向数字之和数比值满足黄金分割数近似值的要求，但是其不具备同时隐含圆周率近似值和自然常数相关数理规律的性质和规律，数理义蕴显然远不如河图结构深厚。

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2.十干化五行的数理合理性及其与双镜象黄金螺旋河图模型关系

《素问.五运行大论》篇曰：“黄帝坐明堂，始正天纲，临观八极，考建五常，请天师而问之曰：论言天地之动静，神明为之纪，阴阳之升降，寒暑彰其兆。余闻五运之数于夫子，夫子之所言，正五气之各主岁尔，首甲定运，余因论之。鬼臾区曰：土主甲己，金主乙庚，水主丙辛，木主丁壬，火主戊癸。”，而《素问·天元纪大论》篇又曰：“甲己之岁，土运统之；乙庚之岁，金运统之；丙辛之岁，水运统之；丁壬之岁，木运统之；戊癸之岁，火运统之。”此二段内经引文给出了五运与十天干之配属关系及具体化合顺序。关于五气经天化五运的规律，在《黄帝内经》中虽然曾引用《太始天元册》中内容对五运与天干相配的原因给出过解释，但除了名为《太始天元册》的古代天文学典籍已失传外，五气经天所描述的现象在现代天文观测实践中并没有发现任何支撑证据。

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因此，关于五运之天文学来源及其真实含义的诠释在某种意义上仍然是千古之谜。笔者发现，将十天干均布于圆周并与生克五行原理相结合在数理上可有效解释十干化五运问题[5]。首先，如图4所示将十天干均布于圆周并基于双正五边形几何性质标示以角度有：甲-0°，乙-36°；丙-72°，丁-108°；戊-144°，己-180°；庚-216°，辛-252°；壬-288°，癸-324°。而十干化五运恰与相应角度和有关：甲己化土对应0°+180°=180°恰对应己土位；乙庚化金，36°+216°=252°恰对应辛金位；丙辛化水，72°+252°=324°恰对应癸水位；丁壬化木，108°+288°-360°=36°恰对应乙木位；戊癸化火，144°+324°-360°=108°恰对应丁火位，如此可逻辑一致地从纯数学角度对十天干化五运之基本规律给出严格的数理诠释。其中，假设十天干化五运中两个天干所对应之圆周角度数值分别用D1和D2表示，上述规律中所化合得到的五运五行所属跟基于数学公式（D1+D2）60°（%表取模运算）计算所得到的圆周角度位置天干五行所属一致，同时十天干之五阳干即甲、丙、戊、庚、壬与五阴干即乙、丁、己、辛、癸之连线如图2所示恰分别构成一正五边形，整体形成一个双正五边形彼此相交错的结构，暗示了生克五行模式与双正五边形相错结构基于十干化合在数理上存在深刻的关联。

实际上，如图5所示，以黄金螺旋中心为圆心，半径公比为φ4/5的五个同心圆跟黄金螺旋的交点与其中心连线可五等分圆周角，各连线与某圆交点构成正五边形五个顶点，而十干化五运相关双正五边形相错结构则恰跟双镜象黄金螺旋直接相关。另外，不难证明，图2中外、内两层圆之间的几何结构构成无穷递归、嵌套的全息基元，而其中所涉四层同心圆的半径比恰为

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3.结论及展望

结合黄金螺旋方程和组合数学分析可以发现，河图相关十干模型结构中同时隐含跟e、Φ、π三个基本数学常数和易道象数原理密切相关的数码分布规律与线索，暗示中华远古先人可能已经具有或掌握了极为高明的构图智慧和技巧。另外，与生克五行模型直接相关的黄帝内经十干化五运理论隐含深刻的黄金分割相关数理原理，而相关模型可基于双镜象黄金螺旋及其半径呈等比序列且公比Φ4/5的同心圆的交点为基础要素生成，与河图模型皆关联于共通的双镜象黄金螺旋架构。实际上，自然界基本物理规律如机械运动与电磁学基础规律皆具微分形式，而常微分方程通解因其特征多项式代数根在复直角坐标系中位置不同在极坐系中相对于自变量可对应单位圆（纯虚根）、等角螺旋（复数根）、点（零根）、正实轴射线（实根）四种几何结构：单位圆、正实轴射线和等角螺旋是三类等角曲线，分别对应等角为±90º、0º或180º、锐角或钝角三种情形，其皆经过复平面（1，0）点且根据其等角取值情况各分为阴、阳两类，恰可对应于本文所研究两类十干五行模型中最基本的几何结构要素。黄金分割数是最无理的无理数，而在生命科学领域黄金等角螺旋恰为以黄金分割数为最基本常数的深具普适性的一类特殊等角螺旋。本论文基于双镜象黄金螺旋和半径呈等比序列的同心圆的交点将两种由中医基础理论研究中“生克五行”和“中土五行”模型派生的十干五行模型在数理上统一在一起，能够以双镜象黄金螺旋跟半径呈等比序列的同心圆交点为基础形成统一数理架构，不但适合对两种十干五行模型的讨论，同时也可推广至跟术数学相关的一般圆周均分框架结构研究中，有助于基于生命界和自然界普遍存在的黄金分割律阐释中医阴阳五行和象数理论的现代科学合理性，对于中医基础理论研究和临床实践而言皆具有重要的启发意义和参考研究价值。■

【参考文献】

[1]孙广仁，郑洪新主编．中医基础理论[全国高等中医院校规划教材（第九版）][M]．北京：中国中医药出版社，2012：45，48-49。

[2]Chen Zhaoxue.Novel Discoveries on Relationship of the Golden Spiral and the Hetu & Lai’s Taiji.International Journal of Computers in Healthcare.Vol. 2， No. 2， pp.121–130.

[3]吴敏,蔡克.黄金分割与斐波那契数列.九江职业技术学院学报[J].2003年03期:60-61。

[4]陈兆学，丁佳语，卢永禄.关于《数字信号处理》课程“围线积分法”求z反变换思政教学的研究和探索.新一代信息技术.2023年6卷第11期,页码：42-45。

[5]陈兆学，赵琳琳. 八卦纳甲与五气经天化五运原理新诠释[J]. 中华中医药杂志，2022，37(8):4254-4258。

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算释中医

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摘要：本论文以双镜象黄金螺旋为基础结构，着重从几何和代数学角度对两种十干五行基本模型的数理合理性进行研究和分析。首先，结合中医、易学和现代数学原理，对双镜象黄金等角螺旋河图模型的合理性进行了探索。同时，结合组合数学的方法和黄金等角螺旋方程的性质，对河图数码分布的相关规律进行了探讨，发现了其内秉数理逻辑的一致性并将其与中医阴阳基本思想以及“参天两地”的易学原理联系在一起。然后，在介绍双正五边形十干五行模式数理合理性基础上，将该模型与双镜象黄金螺旋联系起来进行讨论并将相关模型跟河图十干五行模型统一于双镜象黄金螺旋跟半径呈等比序列的同心圆交点的数理架构基础之上，该数理架构不但适合对两种十干五行模型的讨论，同时也可推广至跟术数学相关的一般圆周均分框架结构研究中，是一个深具启发意义和参考价值的数理模式和架构。

关键词：生克五行  中土五行 河图 十干 黄金螺旋  同心圆  参天两地

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第9版全国高等中医院校规划教材《中医基础理论》在阐释五行学说时，将其内容分为“生克五行”与“中土五行”两部分，认为[1]：“五行学说有两种结构模式：一是五行对等的相生相克模式，简称'生克五行’；二是以土为中心的土控四行模式，简称'中土五行’。”并进一步诠释：“中土五行，指土居中央而木、 火、金、水为东、南、西、北的五行模式。”其中，“生克五行”常用圆或正五边形及五角星表达，如图1a）所示，而“中土五行”常用左、右、上、下、中央五行五位分野的形式并结合东、西、南、北、中五方以及春、秋、夏、冬四时进行表达，如图1b）所示。在中医基础理论研究和临床实践中，这两种五行模式都非常重要，实际上都可以在各自基本五行排布结构和生克关系保持不变的前提下，基于阴、阳加倍配位的方式进一步予以拓展为阴五行和阳五行之组合，分别如图1c）和图1d）所示：“生克五行”模式直接对应十天干顺次均布于圆周，其中，五阴干和五阳干分别构成两个正五边形相错结构，则每相邻两个天干与圆心连线所对应圆周角皆为36°；“中土五行”则常见于河图结构中，基本对应内和外两层结构，也常常基于数字之奇、偶及其五行属性之阴阳跟十天干的五阳干和五阴干分别匹配，具体如图1e）所示。     

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自古以来对于这两种十干五行模式相关规律及应用实践探讨的文献很多，但极少有文献在不违背中医学基本原理的前提下基于现代科学视角将这两种模式统一在一起进行研究和探索。本论文以双镜象黄金螺旋为基础结构，着重从几何和代数学角度对两种基本十干五行模型的数理合理性进行研究和分析。首先，结合中医、易学和现代数学原理，对双镜象黄金等角螺旋河图模型的合理性进行了探索。同时，结合组合数学的方法和黄金等角螺旋方程的性质，对河图数码分布的相关规律进行了探讨，发现了其内秉数理逻辑的一致性并将其与中医阴阳基本思想以及“参天两地”的易学原理联系在一起。然后，在介绍双正五边形十干五行模式数理合理性基础上，进一步与双镜象黄金螺旋联系起来进行讨论，将相关模型跟河图十干五行模型统一于双镜象黄金螺旋跟半径呈等比序列的同心圆交点的数理架构基础之上，该数理架构不但适合对两种十干五行模型的讨论，同时也可推广至跟术数学相关的一般圆周均分框架结构研究中，是一个深具参考意义和研究价值的数理模式和架构。

1.河图十干五行数码分布与双镜象黄金螺旋的关系研究

《尚书·洪范》篇曰:“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。”其中，将五行与从一到五的数字相配，即为后世术数学研究者所熟知的“洪范五行数”。另外，《周易.系辞上》曰:“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天数五地数五。五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”而《礼记·月令》孔颖达《疏》引郑玄注《系辞》曰：“天一生水于北，地二生火于南，天三生木于东，地四生金于西，天五生土于中。阳无耦，阴无配，未得相成。地六成水于北，与天一并；天七成火于南，与地二并；地八成木于东，与天三并；天九成金于西，与地四并；地十成土于中，与天五并也。”郑玄《系辞》注中所描述的恰为后世所谓河图结构，如图1 d）所示。此外，如前所述，古人还将河图与十天干及其相应的五行属性予以关联，具体以奇数为天数、偶数为地数，同时以1、2、3、4、5为生数，6、7、8、9、10为成数。成数和相应生数之差值为5，形成一个跟五方、五行属性相匹配的5个生成数二元组，每个二元组中两个数字一奇一偶、阴阳相耦相并，彼此相辅相成，诚如《系辞》所言：“五位相得而各有合。”。因此，从组合结构上来看，河图四方与中央共计5个生成数二元组中每组皆涵奇、偶数各一且两数差的绝对值为5，而按从大到小排列如下相关数值有：

01

生成数之商

土=5/10=0.5，金=4/9=0.4…，

木=3/8=0.375，火=2/7=0.28…，

水=1/6=0.16…；

02

生成数之积

土=50，金=36，木=24，火=14，水=6；

03

生成数之和

土=15，金=13，木=11，火=9，水=7。

显然，各结果数值从大到小皆恰对应于洪范五行数由大到小的顺序。这暗示，古人在《尚书》和《周易》等典籍中所给出的对洪范五行数、天地数的定义以及河图五行生数和成数相耦、相配的组合关系并非简单的约定，当隐含深刻的跟组合数学相关的数理合理性，有必要进行深入研究和分析。

1.1基于中土五行的河图数码分布结构的解释及其与黄金分割律联系

南唐文字训诂学家徐锴以“经纬”之义解《说文》之“文”字曰：“天地氤氲，万物化生。天感而下，地感而上，阴阳交泰，万物咸亨。阳以经之，阴以纬之。天地经之，人实纬之。故曰：经天纬地之谓文。”。其中，对经、纬两个方向的阴阳属性进行了规定，即以纬向（水平方向）为阴，经向（竖直方向）为阳。因此，在如图1d）所示河图黑白圈点和数码分布结构中，应该以“上下”方向为阳，“左右”方向为阴。结合古文化和易学常识，在河图具体方位的阴阳划分上又常常以上为阳下为阴、左为阳右为阴、奇数为阳偶数为阴（分别对应各组白点、黑点的位置和具体数目）。另河图中央以五数居中，对应排列成十字交叉结构的五个白点，外包围均匀分布于一个圆周上的10个黑点对应十数，如此1-5五个生数皆位于内、6-10五个成数皆位于外，规律性非常明显，无疑又可形成另外一类阴阳。如下将对其中所隐含的其它相关数码分布规律进行进一步分析：

首先，深入分析河图中央结构，数字5所对应5个白点居于中央且呈四方+中央结构，跟其外周数码分布方位全息递归且跟中土五行模式相对应。

其次，从本质上来说，河图四方数码分内、外两层分布于互相垂直的两条线段即一个十字形结构上，其数码排布模式隐含黄金分割比例的近似值。具体来说，河图内圈：从上到下数字为21，从左到右数字为34，而21、34恰为两个连续的斐波那契数，在河图中皆可视作从阳位至于阴位进行组合读数而得。若将居于中央的数字10和5按照纬向配阴数、经向配阳数的基本配数原则分别归为水平、垂直方向，则河图水平、垂直方向5个数字的和分别为：

水平：8+3+10+4+9=34；

垂直：7+2+5+1+6=21

有意思的是，两个方向的和数也恰对应34和21二数。并且，纬向数字和34的尾数为4，属于偶数，性阴；经向数字和为21，尾数为1，属于奇数，性阳，与中医和易道术数理论中偶、奇与阴、阳的基本匹配关系也暗合。而34/21=1.619……，恰为黄金分割数

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实际上，斐波那契序列（Fibonacci sequence,=1，1，2，3，5，8,……）是黄金分割现象在代数学领域的主要体现。该序列满足递归关系[3] ：       

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同时在数学上可以证明：

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除此之外，还可以严格证明[4]，对于复数z而言，

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1.2基于黄金等角螺旋方程性质和组合数学的河图数码分布数理合理性研究

组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。实际上，基于黄金等角螺旋方程性质，在河图模型中也可以找到充分的证据说明如图2所示之双镜象黄金螺旋相关河图模型的合理性。首先，黄金等角螺旋在复平面的方程可表达为e（lnΦ²/π+j）θ，其中，j为虚数单位，θ为辐角。显然，其方程仅与辐角θ值的变化有关，同时关联于e、Φ、π三个基本数学常数。对于古人所给出的河图结构而言，基于1.1节的论述不难确认河图数码分布跟Φ的联系。另外，通过仔细研究和分析可以发现，河图排布模式之1-4生数自数字3开始沿顺时针顺序恰隐π≈3.142规律，如此基于组合数学的观点，也可将河图与圆周率常数联系在一起。

自然常数e是“自然律”的精髓，其乃（1+1/x）ˣ当x→∞时的极限。物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、各种驰豫过程以及微分动力系统研究等都要涉及该常数。同时，e关涉自然界衰减增益之螺旋变化过程，乃等角螺旋共通结构控制参量，而等角螺旋轨迹具有全息和无标度特性且ex无限阶求导恒为自身，暗通易学简易、变易和不易之理。《易.说卦传》曰：“昔者圣人之作《易》也，幽赞于神明而生蓍，参天两地而倚数，观变于阴阳而立卦，发挥于刚柔而生爻，和顺于道德而理于义，穷理尽性以至于命。”其中，“参天两地”最简单、直接的意思是天数为三、地数为二。而自然常数e=2.718…向上取整为3应天数，上为天；向下取整为2应地数，下为地，则结合e所关联的特殊数学、物理和自然律性质，或恰可与易经“参天两地而倚数”的原理相对应。

有意思的是，在河图数码分布结构中也隐含大量类似跟“参天两地”有关的组合数学性质和规律。分析如图1d）所示河图结构，共包涵4个数码分布层次即最外层之9786、次外层之4231和中宫外层之10与内层之5，而从整体结构上来看，外2层所对应数字和数的比值为（9+7+8+6）/（4+2+3+1）=3，在外应天，而中宫二层之相应比值为10/5=2，在内应地，故在结构上恰与易学“参天两地”之原理相对应。另外，不难验证，∑（3ⁿ+2ⁿ）（0≤n≤3）的值为55即恰为河图中所有10个数字的和数，而且当0≤n≤3时，∑3ⁿ=40=9+7+8+6+4+2+3+1,∑2ⁿ=15=10+5，恰分别为河图外周8个数字求和以及中央2个数字求和，也就是说，以外、内各2层数字为单位进行求和，所得结果跟3ⁿ和2ⁿ分别相关，按照易学原理，外2层在外应天，内2层在内应地，故结构上也暗暗契合“参天两地”数理。需要注意的是，这种诠释还将中央2个数字和外周8个数字归于不同的分组，同时相应和数的比值即40/15在数值上约等于e，相对误差约1.9%。实际上，在上文所介绍的双镜象黄金螺旋所成河图所隐含几何规律的研究中，以居于中心的数字5、10所对应的极径

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因此，基于上述讨论，在河图中阴阳旋数字排布顺序无论从内至外还是从内至外皆存在统一的跟3ⁿ和2ⁿ相关的严整数学组合和分布规律；另外，以易经“参天两地而倚数”的原理为媒介，在河图中也不难发现跟自然常数e近似关联的线索。实际上，把1-10数按生、成数分为五组，并以生数居内、成数位外，不考虑整体结构镜象与90度旋转，按十字形按类似五元组排布于五方，通过排列组合方法一一枚举可以验证，满足横平、竖直方向数字和为21和34即跟黄金分割数Φ近似值直接对应的排布模式共有以5、10与1、6居中宫二大类，代表性图式分别如图2和图4所示。如此，仅仅从1.1节所述横、纵方向数码之和数比值跟黄金分割数的近似规律角度考察，所对应的五元组数码排布结构并不具有唯一性，但考虑到河图作为易道术数研究核心和基础图式，其对数学常数的关联除了Φ外，还可能与圆周率π和自然常数e有关。上文论述中π≈3.142以及e基于向上、向下取整过程跟“参天两地”原理的近似关联，跟21和34以及89和34所对应的斐波那契数字相关比例组合对黄金律的近似相协同，进一步突出了世传河图数码分布模式的数理合理性。众所周知，古代算学体系中常以“径一周三”为圆形结构表达或曰今人所谓圆周率之近似值，并以“方五斜七”为正方形对角线与其边长比例的近似表达，相对误差分别约为4.5%与1.0%。需要强调指出的是，河图数码分布相关在十字形方向所隐涵之34/21和1-4生数所涉及的3.142虽都是Φ和π的近似值，但其误差都非常小，且相对误差甚至比古代算学理论中“径一周三”“方五斜七”之整数比率近似程度要好得多，所以不啻为一个非常有意思的排布性质。进一步，如前所述，如果说河图数码排布结构中的2ⁿ与3ⁿ协同跟自然常数e相关的话，河图象数结构同时关涉e、Φ、π三个基本数学常数，表明中华先人已经自觉或不自觉地掌握了极为高明的组合数学构图技巧。另外，如图4所示跟黄金分割比例相关的中宫为1、6五组生成数另外一类图式虽然能够保持生数和成数五位相合且分居于阴阳两个螺旋上以及经向、纬向数字之和数比值满足黄金分割数近似值的要求，但是其不具备同时隐含圆周率近似值和自然常数相关数理规律的性质和规律，数理义蕴显然远不如河图结构深厚。

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2.十干化五行的数理合理性及其与双镜象黄金螺旋河图模型关系

《素问.五运行大论》篇曰：“黄帝坐明堂，始正天纲，临观八极，考建五常，请天师而问之曰：论言天地之动静，神明为之纪，阴阳之升降，寒暑彰其兆。余闻五运之数于夫子，夫子之所言，正五气之各主岁尔，首甲定运，余因论之。鬼臾区曰：土主甲己，金主乙庚，水主丙辛，木主丁壬，火主戊癸。”，而《素问·天元纪大论》篇又曰：“甲己之岁，土运统之；乙庚之岁，金运统之；丙辛之岁，水运统之；丁壬之岁，木运统之；戊癸之岁，火运统之。”此二段内经引文给出了五运与十天干之配属关系及具体化合顺序。关于五气经天化五运的规律，在《黄帝内经》中虽然曾引用《太始天元册》中内容对五运与天干相配的原因给出过解释，但除了名为《太始天元册》的古代天文学典籍已失传外，五气经天所描述的现象在现代天文观测实践中并没有发现任何支撑证据。

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因此，关于五运之天文学来源及其真实含义的诠释在某种意义上仍然是千古之谜。笔者发现，将十天干均布于圆周并与生克五行原理相结合在数理上可有效解释十干化五运问题[5]。首先，如图4所示将十天干均布于圆周并基于双正五边形几何性质标示以角度有：甲-0°，乙-36°；丙-72°，丁-108°；戊-144°，己-180°；庚-216°，辛-252°；壬-288°，癸-324°。而十干化五运恰与相应角度和有关：甲己化土对应0°+180°=180°恰对应己土位；乙庚化金，36°+216°=252°恰对应辛金位；丙辛化水，72°+252°=324°恰对应癸水位；丁壬化木，108°+288°-360°=36°恰对应乙木位；戊癸化火，144°+324°-360°=108°恰对应丁火位，如此可逻辑一致地从纯数学角度对十天干化五运之基本规律给出严格的数理诠释。其中，假设十天干化五运中两个天干所对应之圆周角度数值分别用D1和D2表示，上述规律中所化合得到的五运五行所属跟基于数学公式（D1+D2）60°（%表取模运算）计算所得到的圆周角度位置天干五行所属一致，同时十天干之五阳干即甲、丙、戊、庚、壬与五阴干即乙、丁、己、辛、癸之连线如图2所示恰分别构成一正五边形，整体形成一个双正五边形彼此相交错的结构，暗示了生克五行模式与双正五边形相错结构基于十干化合在数理上存在深刻的关联。

实际上，如图5所示，以黄金螺旋中心为圆心，半径公比为φ4/5的五个同心圆跟黄金螺旋的交点与其中心连线可五等分圆周角，各连线与某圆交点构成正五边形五个顶点，而十干化五运相关双正五边形相错结构则恰跟双镜象黄金螺旋直接相关。另外，不难证明，图2中外、内两层圆之间的几何结构构成无穷递归、嵌套的全息基元，而其中所涉四层同心圆的半径比恰为

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3.结论及展望

结合黄金螺旋方程和组合数学分析可以发现，河图相关十干模型结构中同时隐含跟e、Φ、π三个基本数学常数和易道象数原理密切相关的数码分布规律与线索，暗示中华远古先人可能已经具有或掌握了极为高明的构图智慧和技巧。另外，与生克五行模型直接相关的黄帝内经十干化五运理论隐含深刻的黄金分割相关数理原理，而相关模型可基于双镜象黄金螺旋及其半径呈等比序列且公比Φ4/5的同心圆的交点为基础要素生成，与河图模型皆关联于共通的双镜象黄金螺旋架构。实际上，自然界基本物理规律如机械运动与电磁学基础规律皆具微分形式，而常微分方程通解因其特征多项式代数根在复直角坐标系中位置不同在极坐系中相对于自变量可对应单位圆（纯虚根）、等角螺旋（复数根）、点（零根）、正实轴射线（实根）四种几何结构：单位圆、正实轴射线和等角螺旋是三类等角曲线，分别对应等角为±90º、0º或180º、锐角或钝角三种情形，其皆经过复平面（1，0）点且根据其等角取值情况各分为阴、阳两类，恰可对应于本文所研究两类十干五行模型中最基本的几何结构要素。黄金分割数是最无理的无理数，而在生命科学领域黄金等角螺旋恰为以黄金分割数为最基本常数的深具普适性的一类特殊等角螺旋。本论文基于双镜象黄金螺旋和半径呈等比序列的同心圆的交点将两种由中医基础理论研究中“生克五行”和“中土五行”模型派生的十干五行模型在数理上统一在一起，能够以双镜象黄金螺旋跟半径呈等比序列的同心圆交点为基础形成统一数理架构，不但适合对两种十干五行模型的讨论，同时也可推广至跟术数学相关的一般圆周均分框架结构研究中，有助于基于生命界和自然界普遍存在的黄金分割律阐释中医阴阳五行和象数理论的现代科学合理性，对于中医基础理论研究和临床实践而言皆具有重要的启发意义和参考研究价值。■

【参考文献】

[1]孙广仁，郑洪新主编．中医基础理论[全国高等中医院校规划教材（第九版）][M]．北京：中国中医药出版社，2012：45，48-49。

[2]Chen Zhaoxue.Novel Discoveries on Relationship of the Golden Spiral and the Hetu & Lai’s Taiji.International Journal of Computers in Healthcare.Vol. 2， No. 2， pp.121–130.

[3]吴敏,蔡克.黄金分割与斐波那契数列.九江职业技术学院学报[J].2003年03期:60-61。

[4]陈兆学，丁佳语，卢永禄.关于《数字信号处理》课程“围线积分法”求z反变换思政教学的研究和探索.新一代信息技术.2023年6卷第11期,页码：42-45。

[5]陈兆学，赵琳琳. 八卦纳甲与五气经天化五运原理新诠释[J]. 中华中医药杂志，2022，37(8):4254-4258。

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算释中医

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